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第303章 刘维尔的椭圆函数理论

初等函数的积分在何条件下仍为初等函数,也是他着重讨论的问题。

刘维尔涉足科学领域之际,由阿阿尔和C.雅可比(Jacobi)所建立的椭圆函数理论正处于蓬勃发展时期。

1844年12月,刘维尔在给巴黎科学院的一封信中说明了如何从雅可比的定理(单变量单值亚纯函数的周期个数不多于2,周期之比为非实数)出发,建立双周期椭圆函数的一套完整理论体系。

两位德国数学家C.W.博尔夏特(Bor-chardt)和F.约赫姆塔尔(Joachimsthal)向刘维尔详细请教了他的工作情况。

C.W.博尔夏特对刘维尔说:“听说,你最近在研究椭圆函数理论?”

刘维尔说:“肯定的,这是未来的大趋势。”

C.W.博尔夏特说:“一个椭圆函数,如何跟二维周期函数成为一回事的呢?”

F.约赫姆塔尔说:“我觉得这样的理论不靠谱。”

C.W.博尔夏特说:“心里觉得奇怪,我们虽然经历了这样的构造过程,但是还是觉得不可思议。难道数学以后就是要这样研究的吗?”

刘维尔说:“你们不仅仅要适应,还要把这种连续不断的变化变成常态才能更好的研究。”

C.W.博尔夏特说:“等一下,让我们再缕缕。是椭圆函数在复空间内,有一种圆环的形状。”

F.约赫姆塔尔说:“然后是二维空间中也找到了这样的结构?”

刘维尔说:“是的,这两者间有关联,所以当前我要把我所有的精力都耗在二维周期函数上。”

C.W.博尔夏特说:“你有什么发现吗?”

刘维尔像两个数学家展示了刘维尔四个定理。这是对椭圆函数论的一个较大贡献。围绕双周期性,刘维尔展示了椭圆函数的实质性质,如下:

刘维尔第1定理:在一个周期平行四边形内没有极点的椭圆函数是常数;

刘维尔第2定理:椭圆函数在任一周期平行四边形内的极点处残数之和为0;

刘维尔第3定理:n阶椭圆函数在一个周期平行四边形内取任一值n次;

刘维尔第4定理:在一周期平行四边形内零点之和与极点之和的差等于一个周期。

后来,到巴黎访问的,而1850—1851年刘维尔在法兰西学院讲授的双周期函数课程,也在C.A.布里奥(Briot)与J.C.布凯(Bou-quet)所著《双周期函数论》(Théorie des fonctions doublementpériodiques,1859)一书中得到系统介绍。因此,尽管刘维尔的有关结论很少发表,仍能在法国内外迅速传播并产生影响,双周期函数的讲义后来发表在1880年第88卷的德国《纯粹与应用数学杂志》上。

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